Hilfe - Mathematik: ... kann jemand diese Aufgaben lösen

Mein Neffe hat aus der Schule eine Matheaufgabe mitbekommen, aber
wir können das nicht lösen .... ist hier ein verstecktes Genie, das helfen kann

Folgende Fragestellung:

Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer Zahl! So hat zum Beispiel die
Zahl 1+2+3+4+5+6 = 21

1. wie heißt die kleinste natürliche Zahl mit Quersumme 2010 ?

2. welches ist die kleinste, welches die größte natürliche Zahl mit jeweils genau
2010 Stellen und der Quersumme 2010 ?

Begründe deine Antworten nachvollziehbar!

Wäre super wenn uns jemand weiterhelfen könnte! Dankeschön

Bearbeitet von Yellow64 am 17.01.2010 17:22:12

Hi,

hier vielleicht die Lösung, ich hoffe, dass ich es so schreiben kann, dass ihr es nachvollziehen könnt.

Aufgabe 1:

Die kleinste natürliche Zahl mit Quersumme 2010 lautet: 3 und dann 223 Neunen anfügen; also

399999999999999... (mitzählen, bis es 223 mal die Ziffer "9" ist).

Aufgabe 2:

Die kleinste natürliche Zahl sind zweitausendundzehn "1" (Einsen). Mitzählen nicht vergessen .

Die größte natürliche Zahl ist 223 mal die "9" und dann die "3" und dann soviel Nullen auffüllen, damit 2010 Stellen rauskommen (also müssen es m. E. 1786 Nullen sein).

Begründung zu 1: die größte Ziffer ist die "9"; also muss 2010 durch Neun geteilt werden, um so wenig wie möglich Stellen zu erhalten.
Begründung zu 2; kleinste natürlich Zahl: Da die Anzahl der Stellen (2010) vorgegeben ist, muss man eben mit der kleinsten natürlichen Zahl arbeiten.
Begründung zu 2; größte natürliche Zahl: Die größte natürliche Zahl (Ziffer) ist die 9, mit der muss man anfangen um eben die größte nat. Zahl heraus zu bekommen. Und eben genug Nullen anfügen, weil auch hier die Anzahl der Stellen (2010) vorgegeben ist.


Hoffe, wir konnten weiterhelfen.

P.S. Die Lösung kommt von meinem Guten (ich will mich ja nicht mit fremden Federn schmücken )

Puh. Nicht schlecht Herr Specht...Ich hätte nur die Lösung zu 2.a gewusst.

Darf ich mal fragen, in welcher Stufe/Klasse solche Aufgaben gestellt werden?!?



Gruß Steffi

Erstmal danke für die Lösung, das werd ich ihm gleich mal weitergeben.

Ich wäre da nie drauf gekommen

@ steffi - das ist sechste Klasse Gymnasium (in Bayern)

Bitte schön!

Zum Lösungs-Beitrag wollte ich noch ein P.P.S. schreiben, das durfte ich aber plötzlich nicht mehr .

Korrektur: Die kleinste natürliche Zahl (Ziffer) ist die Null, das weiß ich, aber da kommt bei der Quersumme nie 2010 (oder sonstwas außer Null) raus, ergo -> die "1" ist nur die zweitkleinste Ziffer...

Die Klassenstufe hatte mich auch interessiert und ich bin ein bissel ... uuuupps ! Meine Kleine geht auch in die 6. Kl. Gym. in Bayern...

Ist doch ganz klar

Was ist denn eine Quersumme? Es werden die Ziffernwerte einer Zahl zusammenaddiert, also bei 21 ist die Quersumme gleich drei und dadurch kannst du auch sehen, dass 21 durch frei zu teilen ist, das funktioniert immer probier mal 4003101 durch drei zu teilen, geht, weil die Quersumme eben durch drei zu teilen ist. 4+0+0+3+1+0+1 ist gleich 9 - durch drei teilbar. Es gibt noch einige dieser Quersummenregeln für die Division.

Eine Quersumme ist sicherlich nicht das von dir erwähnte Beispiel, sondern die Addition der in der Zahl erhaltenen Zahlenwerte. Also 21 Quersumme 3.
https://de.wikipedia.org/wiki/Quersumme und mein Schulwissen

1. Die kleinste natürliche Zahl kann es nicht geben, denn es kann nur eine geben, eine natürliche Zahl hat eben nur eine Quersumme, da kann es kein kleiner oder größer geben. 2 + 0 + 1 + 0 und das ist gleich drei

2. Ist die zweite Frage richtig formuliert
Wenn ja:
2.1.die kleinste: dann muss am Anfang eine 1 stehen, jetzt sie ganzen Stellen mit Null und die letzte Stelle eine zwei

2.2. Die Größte fängt dann mir 3 an und die restlichen Stellen haben einfach nur noch Nullen

Die Quersumme ist immer drei.

Es spielt keine Rolle, mit wie vielen Stellen da gespielt wird. Du kannst es auch mit vier machen.
1002 ist die kleinste
3000 die größte

Markaha, es wurde nicht nach der Quersumme von 2010 gefragt.... sondern nach der Zahl X, die als Quersumme 2010 hat.

@yellow64, jetzt wäre es schön, wenn du Kommunikationsprobleme lösen könntest. Soll denn nun die Quersumme der Zahl = Zweitausendundzehn sein oder Drei oder was? ich bin ein bissel ... irritiert.
Ich erhebe kein Anrecht auf "Klugheit", aber ich lese aus der Aufgabenstellung, dass die Quersumme eben 2010 sein soll und nicht drei. Oder haben wir die Aufgabenstellung völlig falsch verstanden/gar nicht verstanden?

maleine Frage, braucht man sowas im alltäglichen Leben /berufsleben ?????

Keine Ahnung, aber hoffentlich wird dadurch die Kombinationsgabe und Logik gefördert, die braucht man nämlich

Ich kann euch da leider auch nicht mehr sagen, er hat das in der Schule als
Arbeitsblatt bekommen, mit lediglich der Fragestellung wie ich es oben
geschrieben hatte. Es gibt keine weitere Erklärung dazu.

ich hab das so verstanden wie Aquarius... und was wichtiger ist: mein Studierter Mathematiker-GötterGatte auch

Hey find ich nicht schlecht so studierte Mathematiker, das wird euch mal richtig
helfen wenn die Kids zur Schule gehen

Für Mathe war immer mein Mann zuständig - aber da hatte er jetzt auch "keinen Kopf" für.

[/QUOTE]Es spielt keine Rolle, mit wie vielen Stellen da gespielt wird. Du kannst es auch mit vier machen.
1002 ist die kleinste
3000 die größte
[QUOTE]

So hätte ich das auch gerechnet. Aber das Ergebnis bei 2. ist etwas anders, da es genau
2010 Stellen sein sollen. Also
1 - 28 mal 0 - 2 ist die kleinste Zahl
3 - 29 mal die 0 ist die größte Zahl

Hier wurde ja nach der Quersumme 2010 gefragt und die kann eben nur 3 sein.
Sonst hätte es doch wohl heißen müssen .......Zahl, .....die die Quersumme 2010 ergibt.

Sollte aber doch die Quersumme aus allen Zahlen 2010 gefragt sein, dann ist
223*9 -1786 mal 0 und 3 die größte Zahl und
1 - 28 mal 0 - und 2 die kleinste Zahl.

Lass deinen Neffen alle Lösungen mitnehmen, dann kann er sich das Richtige aussuchen.

Auf jeden Fall für mich eine fiese, unklare Fragestellung. Ob so etwas die Schüler motiviert?

LG und viel Erfolg

Bearbeitet von Ernalottchen am 17.01.2010 19:21:03

Zitat (Yellow64, 17.01.2010)

Hey find ich nicht schlecht so studierte Mathematiker, das wird euch mal richtig helfen wenn die Kids zur Schule gehen

leider bin ich nur ne abgebrochene Sprachenstudentin... bei der Matheaufgabe hätt ich gleich diesen hier gemacht:

Na dann gebe ich mal auf, höhere Mathematik mit mehr als 1000 Stellen versehe ich nicht ohne eine Formel, aber ich bin leider nur ein Geisteswissenschaftler mit gesundem Halbwissen - aber mich interessiert die Lösung auch schon. Die vielen Mathematiker sind das eher gefragt.

Falls sich einer die Mühe macht, biite mir mal posten.

Zitat (Ernalottchen, 17.01.2010)

Hier wurde ja nach der Quersumme 2010 gefragt und die kann eben nur 3 sein. Sonst hätte es doch wohl heißen müssen .......Zahl, .....die die Quersumme 2010 ergibt. Auf jeden Fall für mich eine fiese, unklare Fragestellung. Ob so etwas die Schüler motiviert? LG und viel Erfolg

nee... "die Zahl mit Quersumme 2010" ist meiner Meinung nach ne eindeutige Fragestellung

Zitat (Yellow64, 17.01.2010)

1.  wie heißt die kleinste natürliche Zahl mit Quersumme 2010 ? 2.  welches ist die kleinste, welches die größte natürliche Zahl mit jeweils genau 2010 Stellen und der Quersumme 2010 ? Begründe deine Antworten nachvollziehbar!

ohne zu sehen das schon antworten da sind, bin ich mit meinen männern auf die variante von Aquarius gekommen.
also das stimmt und wir haben es genauso auch verstanden.

habe mal die fragen noch farbig markiert, so könnt ihr es euch nochmal durch den kopf gehen lassen.

Zitat (Aquarius, 17.01.2010)

Aufgabe 2: Die kleinste natürliche Zahl sind zweitausendundzehn "1" (Einsen). Mitzählen nicht vergessen . ... Begründung zu 2; kleinste natürlich Zahl: Da die Anzahl der Stellen (2010) vorgegeben ist, muss man eben mit der kleinsten natürlichen Zahl arbeiten.

Da bin ich nicht einverstanden.

Klar ist 1111111111......... ein guter Ansatz, aber

1, dann 1784 mal die 0, dann eine 2 und dann 223 mal die 9 ist noch kleiner. Eben 1000000... statt 1111111....


Mein Lösungsweg: Mit der 1 anfangen und die restliche verbleibende Quersumme (2009) auf so wenig Ziffern wie möglich verteilen, um mit möglichst vielen Nullern auffüllen zu können -> 2009/9 = 223 Rest 2, also am Ende (224 Ziffern lang) 2+viele 9er, dazwischen mit Nullern auffüllen, um auf 2010 Stellen zu kommen.

Spätes Edit: es muss heißen: 1, dann 1785x Null, dann 2, dann 223x 9, sonst fehlt eine Stelle.

Da muss ich Tigermücke Recht geben, wollte ich auch schreiben, als ich oben den Lösungsvorschlag von Aquarius mit den vielen "1" las. Das war leider zu simpel gedacht. Dabei war sie ja auf der richtigen Fährte, die Frage nach der größten Zahl ist ja im Prinzip der selbe Lösungsweg

Richtig ist, wie tigermücke schreibt, eine 1 am Anfang, am Ende entsprechend viele 9 bis man so nahe wie möglich an 2010 rankommt, und dann der Rest (2), un dann alles Nullen bis zur 1 am anfang


Also wirklich: 10000.......00000029999....9999

Zitat (markaha, 17.01.2010)

Na dann gebe  ich mal auf, höhere Mathematik mit mehr als 1000 Stellen versehe ich nicht ohne eine Formel, aber ich bin leider nur ein Geisteswissenschaftler mit gesundem Halbwissen

Aber Mathematik ist doch reine Geisteswissenschaft!
Geist in reinster wissenschaftlicher Form.

Dein Geist erschafft dir die "Formel" für den restlichen Teil. Gut, wenn du die Hälfte schon weißt.
Ach ja, "höher" fängt erst da an, wo die Stellenzahl gegen Unendlich strebt.

Zitat (tigermuecke, 17.01.2010)

Spätes Edit: es muss heißen: 1, dann 1785x Null, dann 2, dann 223x 9, sonst fehlt eine Stelle.

nein das glaub ich nun nicht, denn es wird ja die kleinste zahl "1"gesucht und dann noch zweitausendzehn stellen.

die neun ist ja nun mal nicht die kleinste, egal wie viele nullen du setzt.

Zitat (Bierle Erstellt am 17.01.2010 21:52:21)

Also wirklich: 10000.......00000029999....9999

und die ich meine
11111.......11111111111....1111 jetzt sage mir wessen seine kleiner ist und bleibt

Bearbeitet von gitti2810 am 18.01.2010 00:03:33

Gitti, spiel' das Spiel doch einfach mal mit fünf Stellen, gesuchte Quersumme 5. Welche Zahl ist kleiner, 11111 oder 10004?

Eine schöne Aufgabe!

Und Tigermücke hat absolut Recht.

Am besten ist es in so einem Fall immer, das Beispiel zu vereinfachen! 2010 als Quersumme ergibt ja riesige Zahlen. Und da die Lösung was mit der Ziffer 9 zu tun hat, würde ich als Beispiel die Quersumme 12 wählen, in der die '9' 1x vorkommt, Rest = 3.

Die Aufgabe hat ja mit dem Wert der einzelnen Stellen einer Zahl zu tun. Die Schüler lernen das in Mathe: Einerstelle, Zehnerstelle, Hunderterstelle usw....

Und je nachdem, auf welchen Stellen die Ziffern einer Zahl stehen, ist die Zahl größer oder kleiner.

Bei Quersumme 12 ergibt Teilung durch 9 = 1 Rest 3.

Die größte Zahl mit Quersumme 12 wäre also 93 (die größte Ziffer '9' auf der Zehnerstelle, die kleinere Ziffer '3' auf der Einerstelle)

Die kleinste Zahl mit Quersumme 12 wäre dann 39 (umgekehrtes Prinzip)

Für die kleinste Zahl mit Quersumme 12, die aber gleichzeitig auch 12 Stellen hat, müsste man also wieder das gleiche Prinzip anwenden: '9' ganz hinten auf die Einerstelle, die '3' davor und davor dann noch die 10 verbleibenden Stellen mit '0' auffüllen. Da die führenden Nullen aber keinen Wert darstellen und deshalb weggelassen werden, hätte die Zahl ja wieder nur 2 Stellen. Deshalb muss an die vorderste Stelle die kleinste Ziffer mit Wert, das ist die '1'.

Dann muss man aber von der '3' diese '1' abziehen (=2), um wieder auf die Quersumme 12 zu kommen. Und jetzt kann man die fehlenden Stellen zwischen der '1' vorne und der '29' hinten mit so viel Nullen auffüllen, dass man insgesamt auf die 12 Stellen kommt, also mit 9 Nullen.

Ergebnis wäre dann also: 100 000 000 029

Für die größte Zahl mit Quersumme 12 und 12 Stellen ist es einfacher: an die vorderste (höchstwertige) Stelle kommt die größte Ziffer, die '9', danach die '3', der Rest wird mit der fehlenden Anzahl Nullen (=10 Nullen) aufgefüllt.

Ergebnis wäre also: 930 000 000 000

Gruß,
chris

@tigermücke, ich beuge mich deiner Intelligenz - es war vielleicht wirklich zu einfach gedacht *Hut abnehmen und Asche aufs Haupt streuen*

Gespannt auf die tatsächlich richtige Lösung bin ich auch. Vielleicht kann @yellow64 das Ergebnis nicht als pm an Einzelne posten, sondern hier einstellen? Das wäre sehr schön.

Ciao

Ich werde jetzt alle diese Lösungen von hier an den Jungen weitergeben.
Sobald ich das Ergebnis von ihm bekomme werde ich es sofort hier posten !!

Danke euch nochmal herzlich für euere Hilfe.

Zitat (chris, 18.01.2010)

Eine schöne Aufgabe!

Zitat (Valentine am 18.01.2010 00:24:47)

Gitti, spiel' das Spiel doch einfach mal mit fünf Stellen, gesuchte Quersumme 5. Welche Zahl ist kleiner, 11111 oder 10004?

ok nu habe ich es auch kapiert!!

Zitat (Aquarius, 18.01.2010)

@tigermücke, ich beuge mich deiner Intelligenz

Na, das hat ja nun noch NIE jemand zu mir gesagt - hätte ich das gestern abend noch rechtzeitig gelesen, wäre ich mit Krawatte zu Bett gegangen

Da macht sich doch wenigstens, wenn auch sehr spät, die Wahl von Mathe als Leistungskurs wirklich bezahlt

Ich mag solche Aufgaben aber ganz gerne - so lange ich nicht dafür benotet werde

Vorsichtig frag: kommt da nicht 1 raus ?

die kleinst Zahl ist doch die 1.

und wenn ich 2010 x 1 rechne kommt doch auch 1 raus + das waeren doch dann die 2010 Stellen der Summe 2010: also ist 1 auch die groesste. ?????????????????

Zitat (minchenmaus, 19.01.2010)

und wenn ich 2010 x 1 rechne kommt doch auch 1 raus ...

Ooch Minchenmaus!
Sagen wir mal so: Du bringst wieder ganz frischen Schwung in die Debatte!

Zitat (minchenmaus, 19.01.2010)

Vorsichtig frag: kommt da nicht 1 raus ? die kleinst Zahl ist doch die 1. und wenn ich 2010 x 1 rechne kommt doch auch 1 raus + das waeren doch dann die 2010 Stellen der Summe 2010: also ist 1 auch die groesste. ?????????????????

2010 x 1 = 1 ?

Sicher nicht. Übeleg doch mal... wenn du 2010 mal einen Apfel kaufst und jeder einen Euro kostet, dann hast du am Ende doch nicht einen sondern 2010 Euro ausgegeben.

Zitat (Valentine, 19.01.2010)

wenn du 2010 mal einen Apfel kaufst und jeder einen Euro kostet, dann hast du am Ende doch nicht einen sondern 2010 Euro ausgegeben.

Vor allen Dingen hast du dann den Obsthändler zur Weißglut gebracht und wahrscheinlich auch in den Wahnsinn getrieben

Okee, dann soll sie halt 2010 mal für je einen Groschen je einen Kaugummi aus einem Automaten ziehen, 2010 mal auf ihre eigenen Apfelbäume klettern und je einen Apfel runterholen oder 2010 mal eine Kniebeuge machen. Wenn sie das direkt nacheinander macht, merkt sie den Unterschied sicherlich.

Zitat (minchenmaus, 19.01.2010)

und wenn ich 2010 x 1 rechne kommt doch auch 1 raus + das waeren doch dann die 2010 Stellen der Summe 2010: also ist 1 auch die groesste. ?????????????????

nicht rechnen, sondern 2010 mal die 1 schreiben. Das sind dann 2010 Stellen mit der Summe 2010.

Aber: Kleinste

1 schreiben,
1785 Nullen anfügen,
eine 2 schreiben und dann mit
223 mal die 9 beenden.
Ist auf jeden Fall kleiner als alles 1.

Größte
223 mal die 9 schreiben,
eine 3 anfügen
und mit 1786 mal = ergänzen

Es ist schon ganz schön verwirrend und für mich sehr abstrakt, da ich mir eine Zahl mit 2010 Stellen nur sehr schwer vorstellen kann. Außerdem bin ich im ersten Impuls von der Quersumme der Zahl 2010 ausgegangen und das wäre natürlich die 3 gewesen.

Weiß vielleicht jemand wie eine Zahl mit 2010 Stellen heißt?

Zitat (Ernalottchen, 19.01.2010)

Größte 223 mal die 9 schreiben, eine 3 anfügen und mit 1786 mal = ergänzen

Nur richtigkeitshalber muss das natürlich 1786 mal die 0 heißen.
Ich habe den Fehler erst jetzt bemerkt.

Zitat (Ernalottchen, 19.01.2010)

nicht rechnen, sondern 2010 mal die 1 schreiben. Das sind dann 2010 Stellen mit der Summe 2010. Aber: Kleinste        1 schreiben, 1785 Nullen anfügen, eine 2 schreiben und dann mit 223 mal die 9 beenden. Ist auf jeden Fall kleiner als alles 1. Größte 223 mal die 9 schreiben, eine 3 anfügen und mit 1786 mal = ergänzen Es ist schon ganz schön verwirrend und für mich sehr abstrakt, da ich mir eine Zahl mit 2010 Stellen nur sehr schwer vorstellen kann. Außerdem bin ich im ersten Impuls von der Quersumme der Zahl 2010 ausgegangen und das wäre natürlich die 3 gewesen. Weiß vielleicht jemand wie eine Zahl mit 2010 Stellen heißt?

Aber bitte doch

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Das nenn ich mal ne Arbeitsbeschaffungsmaßnahme

Bearbeitet von Mellly am 25.01.2010 13:34:25

Zitat (Ernalottchen, 19.01.2010)

Weiß vielleicht jemand wie eine Zahl mit 2010 Stellen heißt?

Hi,

für so große Zahlen gibts keine eigenen Namen.

Die normale Nomenklatur hört bei 94 Stellen auf, also 10^93. Das wäre eine Quindezilliarde
Dann gibts da noch unregelmässig benannte Zahlen.
10^600 ist eine Zentillion
10^100 ist ein Googol. Nach dieser Zahl wurde übrigens Google benannt.
Ein Googolplex, 10^Googol, also 10^10^100, eine 1 mit 10^100 Nullen, kann nicht in unserem Dezimalsystem ausgeschrieben werden, da ein Googol größer ist als die Menge der Atome in unserem Universum, selbst wenn jedes Elementarteilchen eine Null darstellen würde, könnte man die Zahl also nicht repräsentieren. Ein Googolplex ist also ziiiemlich viel

Bearbeitet von Bierle am 23.01.2010 22:17:52

Ich hab mich oben in meiner ausgeschriebenen Weise natürlich vertippt: für die größte 2010-stellige Zahl mit Quersumme 2010 müssen natürlich zuerst die 9er, dann die 3 und dann die Nuller kommen

Mein Gott, was Ihr alles wißt.
Ziehe meinen Hut.
Aber was war nun in der Schule los ?
LG Velten

Zitat (tigermuecke, 23.01.2010)

Aber bitte doch 1000000000000000000000000 000000000000000000000000 0000000000000000000000000 0000000000000000000000000 00000000000000000000000000 000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000002999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999999999999999999999 9999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999 Das nenn ich mal ne Arbeitsbeschaffungsmaßnahme

Mensch Tigermücke, das ist ja 'ne Leistung!

Wäre dass nicht besser ein 1€ Job?

Stell die mal vor 30 SchÜler in einer Klasse und das so oft schreiben, weil die ja sonst zu nichts anderem mehr kommen. Aber danach wäre man dann wohl reif für die Klappsmühle. Aber man hat vorher noch etwas Geld verdient und würde nicht mehr als arbeitslos zählen. Gut für die Statistik.

So - heute hab ich die offizielle Lösung der Aufgabe bekommen, nun hoffe ich nur noch das
dieser Link auch funktioniert.

http://www.schulweb-an.de/gymfw/images/sto...sung_Jan_10.pdf



Nochmals vielen Dank für eure Hilfe.

Danke dir Yellow.

Danke Yellow, für die Info. Da sind wir ja noch gar nicht so schlecht.